Question

如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′．设平移的距离为x（cm），两个三角形重叠部分（阴影四边形）的面积为S（cm²）．
（1）当x=1时，求S的值．
（2）试写出S与x间的函数关系式，并求S的最大值．
（3）是否存在x的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为1：？如果存在，请求出此时的平移距离x；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可知△ACD和△A′B′C′都为等腰直角三角形，且AD=2，
∴∠A=45°，又由平移可知∠AA′E=90°，
∴△AA′E也为等腰直角三角形，又x=1，
∴A′E=AA′=1，又A′D=2-1=1，
∴S=A′E•A′D=1；

（2）由题意可知△ACD和△A′B′C′都为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，又由平移可知∠AA′E=90°，
∴△AA′E也为等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，又A′D=2-x，
∴S=A′E•A′D=x（2-x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
当x=1时，S有最大值，其最大值为1；

（3）存在．理由如下：
由题意得到△AA′E和△A′DF都为等腰直角三角形，
∵AA′=x，A′D=2-x，
∴A′E=x，A′F=（2-x），
∴x：（2-x）=1：或x：（2-x）=：1，
解得：x=1或x=，
则当x=1或时，重叠部分的四边形的相邻两边之比为1：．
分析：（1）由正方形的性质得到△ACD和△A′B′C′都为直角边为2的等腰直角三角形，从而判定出△AA′E也为等腰直角三角形，得到A′E=AA′=1，从而得到A′D的长，由四边形的面积公式底乘以高的一半即可求出S；
（2）同理得到A′E=AA′=x，从而得到A′D的长为2-x，由四边形的面积公式底乘以高的一半即可表示出S，得到S与x成二次函数关系，根据此二次函数为开口向下的抛物线，当x等于顶点横坐标时，S有最大值为顶点纵坐标；
（3）存在，理由是：由正方形的性质得到△AA′E和△A′DF都为等腰直角三角形，根据直角边方程为x和2-x，分别表示出邻边A′E和A′F，进而表示出两者之比等于已知的比值，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．
点评：此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的最值，以及平移的性质，是一道代数与几何的综合题．解决此类问题的基本思路：（1）借助图形直观解题；（2）运用方程、函数思想解题；（3）灵活运用数形结合的思想方法，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．学生作第三问时，注意列方程时两邻边的大小不确定，故列出的方程有两个，从而得到x有两解，不要遗漏解．