Question

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．
（1）求证：AC²=AE•AB；
（2）延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求证：AC²=AE•AB，只要证明△AEC∽△ACB即可；
（2）判断PB为⊙O的切线，只要证明PB⊥OB即可．

解答：（1）证明：连接BC，
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴BC=AC．
∴∠1=∠2．
又∵AE=CE，
∴∠1=∠3．
∴△AEC∽△ACB．
∴

AC

AB

=

AE

AC

．
即AC²=AB•AE．（4分）

（2）解：PB与⊙O相切．理由如下：
连接OB，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠PEB=∠1+∠3=2∠2．
∵∠PBE=∠2+∠PBC，∴∠PBC=∠2，
∵∠OBC=∠OCB．
∴∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠OCB+∠2=90°．
∴PB⊥OB．
即PB为⊙O的切线．（10分）

点评：证明线段的乘积相等的问题一般可以转化为三角形相似问题，证明切线的问题，可以转化为证明切线是垂直于半径，并且经过半径的外端点．