Question

数学课上，李老师出示范了如下框中的题目.

 

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE      DB（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE      DB（填“＞”、“＜”或“=”）.理由如下：

如图2过点E作EF∥BC，交AC于点F；（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.

 

Answer 1

【答案】

（1）=；（2）=；（3）1或3

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；

（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；

（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．

（1）答案为：AE=DB；

（2）答案为：AE=DB

证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

∴AE=AF=EF，

∴AB-AE=AC-AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）分为四种情况：

如图1：

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），

即CD=1+2=3．

如图2，

过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

∵等边三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴，

∵△ABC边长是1，AE=2，

∴，解得

∴CM=MN-CN=1-=，

∴CD=2CM=1；

如图3，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能等于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

∴此时不存在EC=ED；

如图4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此时ED≠EC，

∴此时情况不存在，

答：CD的长是3或1．

考点：全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定

点评：本题综合性较强，难度较大，是中考常见题，综合运用考点中的性质进行推理是解此题的关键．