题目内容
已知,如图1,抛物线过点且对称轴为直线点B为直线OA下方的抛物线上一动点,点B的横坐标为m.
(1)求该抛物线的解析式:
(2)若的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)如图2,过点B作直线轴,交线段OA于点C,在抛物线的对称轴上是否存在点D,使是以D为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点B的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1);
(2)S,;
(3)存在,点B为或
【解析】
试题分析:(1)根据抛物线过点且对称轴为直线即可求得结果;
(2)过点B作轴,交于点,则可得直线为,则可设点,点即可表示出BH,再根据三角形的面积公式即可表示出S关于m的函数关系式,根据二次函数的性质即可求得最大值;
(3)设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意,过点D作于点Q,则由(2)有点,点B,即可表示BC,由△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形可得,则可得且,再结合绝对值的性质分类讨论即可.
(1)由题知:解之,得
该抛物线的解析式为:
(2)过点B作轴,交于点由题知直线为:
设点点
(3)设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意,
过点D作于点Q,则由(2)有点,点B
是以D为直角顶点的等腰直角三角形
即是:且
若解之:(舍去),
时,
若解之:(舍去)
当时,
综上,满足条件的点B为或.
考点:二次函数的综合题
点评:本题是一道综合性的题目,主要考查了学生对二次函数的综合应用能力,是中考压轴题,难度较大.
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