Question

如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A为顶点在x轴的上方作菱形OABC，且∠AOC=60°；同时点G从点D（8，0）出发，以2个单位长度/秒的速度沿x轴向负方向运动，以D、G为顶点在x轴的上方作正方形DEFG．设点A运动了t秒．求：
（1）点B的坐标（用含t的代数式表示）
（2）当点A在运动的过程中，当t为何值时，点O、B、E在同一直线上；
（3）当点A在运动的过程中，是否存在t，使得以点C、G、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作BH⊥x轴于H点，根据OA=AB=t，表示出BH和AH的长即可求得B点的坐标；
（2）求得线段OB所在直线的解析式后将用t表示的E点的坐标代入就可以求得三点共线的时间t；
（3）用t表示出C、G点的坐标分①若CG=CD，则CG²=CD²、②若GC=GD，则GC²=GD²、③若DC=DG，则DC²=DG²三种情况求得存在的时间t．

解答：解：（1）作BH⊥x轴于H点，
∵OA=AB=1+t，∠AOC=∠BAH=60°
∴AH=

1+t

2

，BH=

3

2

（t+1），
∴OH=t+1+

t+1

2

=

3t+3

2

，
∴B（

3t+3

2

，

3

2

（t+1））（2分）

（2）将点B（

3t+3

2

，

3

2

（t+1））代入直线OB的解析式y=kx，
解得直线的解析式为y=

3

3

x，
∵点E的坐标为（8，2t），且O、B、E三点共线，
∴∠BOD=30°
∴2t=

3

3

×8
解得：t=

4

3

3

（3分）

（3）过C作CM⊥x轴，交x轴于M，连接CG，
∵C（

1+t

2

，

3 + 3t

2

），G（8-2t，0），D（8，0），
∴MG=OG-OM=8-2t-

1+t

2

，CM=

3 + 3 t

2

，
在直角三角形CMG中，CG²=MG²+CM²，
∴CG2=(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2，
CD2=(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2，GD²=4t²
假设存在满足条件的t，则
①若CG=CD，则CG²=CD²，
∴(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2=(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2t₁=0（舍去）t₂=5
②若GC=GD，则GC²=GD²
∴(

15-5t

2

)2+

3

4

(1+t)2=4t²，t1=6+

17

，t2=6-

17

，
③若DC=DG，则DC²=DG²
∴(

15-t

2

)2+

3

4

(1+t)2=4t²，t1=-1+2

5

，t2=-1-2

5

(舍去)（11分）（每种情况2分）
∴存在满足条件的t值为：5，6+

17

，6-

17

，-1+2

5

（12分）

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形、勾股定理等知识，是一道综合性较强的题目，特别是题目中涉及到的动点问题，更是中考的一个高频考点．