Question

如图，有一块面积为4的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将C点折至MN上，落在P点位置，折痕为BQ，连接PQ、PC．
（1）试判断△PBC的形状，并说明理由；
（2）求PM的长．

Answer 1

解：（1）△PBC是正三角形，
理由：∵正方形ABCD中，ADBC，
而，∴AMBN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵∠A=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴∠1=90°．
∵BN=NC，∴PB=PC，又由折叠知△BQC≌△BQP，
∴BP=BC，∴BP=PC=CB，∴△BPC是正三角形．

（2）由（1）得∠1=90°．∴∠4=90°．
∵S_{正方形ABCD}=4，∴BC=AB=2，
由（1）及△PBC是正三角形，
∴PC=BC=2，，∴．
由（1）及矩形ABNM中，MN=AB=2，∴．
分析：由BN=CN，且MN⊥BC，可得PB=PC，再利用由折叠知△BQC≌△BQP，可得三条边相等，即为等边三角形．
求线段的长，利用勾股定理求解直角三角形即可．
点评：熟练掌握正方形的性质及等边三角形的判定，能够运用勾股定理求解一些简单的计算问题．