题目内容
【题目】如图1,P(2,2),点A在x轴正半轴上运动,点B在y轴负半轴上运动,且PA=PB.
(1)求证:PA⊥PB;
(2)若点A(8,0),求点B的坐标;
(3)求OA﹣OB的值;
(4)如图2,若点B在y轴正半轴上运动时,直接写出OA+OB的值.
【答案】
(1)证明:如图1,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,
∵P(2,2),
∴PE=PF=2,
在Rt△APE和Rt△BPF中,
,
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL),
∴∠APE=∠BPF,
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°,
∴PA⊥PB
(2)解:易得四边形OEPF是正方形,
∴OE=OF=2,
∵A(8,0),
∴OA=8,
∴AE=OA﹣OE=8﹣2=6,
∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF=6,
∴OB=BF﹣OF=6﹣2=4,
∴点B的坐标为(0,﹣4)
(3)解:∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF,
∵AE=OA﹣OE=OA﹣2,
BF=OB+OF=OB+2,
∴OA﹣2=OB+2,
∴OA﹣OB=4
(4)解:如图2,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,
同(1)可得,Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF,
∵AE=OA﹣OE=OA﹣2,
BF=OF﹣OB=2﹣OB,
∴OA﹣2=2﹣OB,
∴OA+OB=4
【解析】(1)过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,根据点P的坐标可得PE=PF=2,然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠APE=∠BPF,然后求出∠APB=∠EPF=90°,再根据垂直的定义证明;(2)求出AE的长度,再根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,然后求出OB,再写出点B的坐标即可;(3)根据全等三角形对应边相等可得PE=PF,再表示出PE、PF,然后列出方程整理即可得解;(4)同(3)的思路求解即可.