题目内容
如图,已知点A从(1,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动,以O、A为顶点在x轴的上方作菱形OABC,且∠AOC=60°;同时点G从点D(8,0)出发,以2个单位长度/秒的速度沿x轴向负方向运动,以D、G为顶点在x轴的上方作正方形DEFG.设点A运动了t秒.求:
(1)点B的坐标(用含t的代数式表示)
(2)当点A在运动的过程中,当t为何值时,点O、B、E在同一直线上;
(3)当点A在运动的过程中,是否存在t,使得以点C、G、D为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)作BH⊥x轴于H点,
∵OA=AB=1+t,∠AOC=∠BAH=60°
∴AH=,BH=(t+1),
∴OH=t+1+=,
∴B(,(t+1))(2分)
(2)将点B(,(t+1))代入直线OB的解析式y=kx,
解得直线的解析式为y=,
∵点E的坐标为(8,2t),且O、B、E三点共线,
∴∠BOD=30°
∴2t=
解得:(3分)
(3)过C作CM⊥x轴,交x轴于M,连接CG,
∵C(),G(8-2t,0),D(8,0),
∴MG=OG-OM=8-2t-,CM=,
在直角三角形CMG中,CG2=MG2+CM2,
∴,
,GD2=4t2
假设存在满足条件的t,则
①若CG=CD,则CG2=CD2,
∴=t1=0(舍去)t2=5
②若GC=GD,则GC2=GD2
∴=4t2,,,
③若DC=DG,则DC2=DG2
∴=4t2,,(11分)(每种情况2分)
∴存在满足条件的t值为:5,,,(12分)
分析:(1)作BH⊥x轴于H点,根据OA=AB=t,表示出BH和AH的长即可求得B点的坐标;
(2)求得线段OB所在直线的解析式后将用t表示的E点的坐标代入就可以求得三点共线的时间t;
(3)用t表示出C、G点的坐标分①若CG=CD,则CG2=CD2、②若GC=GD,则GC2=GD2、③若DC=DG,则DC2=DG2三种情况求得存在的时间t.
点评:本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形、勾股定理等知识,是一道综合性较强的题目,特别是题目中涉及到的动点问题,更是中考的一个高频考点.
∵OA=AB=1+t,∠AOC=∠BAH=60°
∴AH=,BH=(t+1),
∴OH=t+1+=,
∴B(,(t+1))(2分)
(2)将点B(,(t+1))代入直线OB的解析式y=kx,
解得直线的解析式为y=,
∵点E的坐标为(8,2t),且O、B、E三点共线,
∴∠BOD=30°
∴2t=
解得:(3分)
(3)过C作CM⊥x轴,交x轴于M,连接CG,
∵C(),G(8-2t,0),D(8,0),
∴MG=OG-OM=8-2t-,CM=,
在直角三角形CMG中,CG2=MG2+CM2,
∴,
,GD2=4t2
假设存在满足条件的t,则
①若CG=CD,则CG2=CD2,
∴=t1=0(舍去)t2=5
②若GC=GD,则GC2=GD2
∴=4t2,,,
③若DC=DG,则DC2=DG2
∴=4t2,,(11分)(每种情况2分)
∴存在满足条件的t值为:5,,,(12分)
分析:(1)作BH⊥x轴于H点,根据OA=AB=t,表示出BH和AH的长即可求得B点的坐标;
(2)求得线段OB所在直线的解析式后将用t表示的E点的坐标代入就可以求得三点共线的时间t;
(3)用t表示出C、G点的坐标分①若CG=CD,则CG2=CD2、②若GC=GD,则GC2=GD2、③若DC=DG,则DC2=DG2三种情况求得存在的时间t.
点评:本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形、勾股定理等知识,是一道综合性较强的题目,特别是题目中涉及到的动点问题,更是中考的一个高频考点.
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