Question

两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是　　．

Answer 1

①②④

解析试题分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而A、B两点都在的图象上，故有x₁y₁=x₂y₂=1，而S_△ODB=×BD×OD=x₂y₂=，S_△OCA=×OC×AC=x₁y₁=，故①正确；
由A、B两点坐标可知P（x₁，y₂），P点在的图象上，故S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，根据S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA，计算结果，故②正确；
由已知得x₁y₂=k，即x₁•=k，即x₁=kx₂，由A、B、P三点坐标可知PA=y₂﹣y₁=﹣=，PB=x₁﹣x₂，=（k﹣1）x₂，故③错误；
当点A是PC的中点时，y₂=2y₁，代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，故k=2，代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，可知④正确．
解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁y₁=x₂y₂=1，
∵S_△ODB=×BD×OD=x₂y₂=，S_△OCA=×OC×AC=x₁y₁=，故①正确；
（2）由已知，得P（x₁，y₂），
∵P点在的图象上，
∴S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，
∴S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA=k﹣﹣=k﹣1，故②正确；
（3）由已知得x₁y₂=k，即x₁•=k，
∴x₁=kx₂，
根据题意，得PA=y₂﹣y₁=﹣=，PB=x₁﹣x₂，=（k﹣1）x₂，故③错误；
（4）当点A是PC的中点时，y₂=2y₁，
代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，
∴k=2，
代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，故④正确．
故本题答案为：①②④．
考点：反比例函数综合题．
点评：本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，相等长度的表示方法，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k．